在司法实践中，一个案件的审理过程往往充满了复杂性和不确定性，尤其是在判决生效后，如果发现新的证据，这对于案件的双方当事人来说，无疑是一个重大的转折点。根据我国法律的规定，当一份判决生效后，如果当事人发现了新的、有可能改变原有判决结果的证据，他们有权向人民法院申请再审，而不是选择另行起诉。这一规定不仅体现了司法裁判的严肃性和稳定性，也确保了当事人在面对新证据时的合法权益得到有效保障。

首先，我们需要明确的是，再审与另行起诉是两种不同的法律程序。另行起诉通常意味着单独提起一个新的民事诉讼，这适用于那些与原有判决无直接关联的新争议。然而，在发现新证据的情况下，由于这些证据与原有判决之间存在紧密的关联，且目的就是要推翻或部分改变原有的判决结果，因此，另行起诉显然不是最合适的选择。此时，申请再审成为了一个更为合理且有效的途径。

再审程序的启动，需要当事人提供充分的新证据来证明原有判决可能存在错误。这些新证据应当是原判决作出后新发现的，或者是原判决作出时因客观原因无法取得的。一旦人民法院收到当事人的再审申请，并经审查认为符合再审条件的，将会裁定再审，并组成合议庭重新审理该案件。

再审程序的进行，不仅是对原有判决的一次重新审视，更是对司法公正和权威的一次有力维护。通过再审程序，人民法院可以纠正原有判决中可能存在的错误，确保每一个案件都能得到公正、合理的处理。同时，这也为当事人提供了一个在新证据出现后寻求法律救济的有效途径。

值得注意的是，再审程序的启动并不是随意的，而是需要严格遵循法律规定的条件和程序。当事人在申请再审时，必须提供充分的新证据，并说明这些证据足以推翻或部分改变原有判决的理由。人民法院在审查再审申请时，也会严格把关，确保再审程序的合法性和正当性。

总之，在司法实践中，当一份判决生效后，如果当事人发现了新的证据，他们有权向人民法院申请再审。这一规定不仅体现了司法裁判的严肃性和稳定性，也确保了当事人在面对新证据时的合法权益得到有效保障。通过再审程序，我们可以更加公正、合理地处理每一个案件，维护司法的公正和权威。